آمار | فرایند وینر

فرایند وینر

یک تحقق حرکت براونی در فضای ۳ بعدی

حرکت براونی (که با تصور اينکه رابرت براون گیاه شناس اولین فردی بود که اين نوع مشخصه فیزیکی ذرات را مشاهده نموده با نام براون شناخته می شود) به نوعی از حرکت تصادفی ذراتی که در داخل سیالی (مايع يا گاز) غوطه ور هستند وطا مدل ریاضی بکار رفته برای توصیف اين حرکت اتلاق می شود. مدل ریاضی حرکت براونی کاربرد های عملی در دنیای واقعی می باشد.

در ریاضیات، فرآیند وینر یک فرایند تصادفی زمان پیوسته است که به یاد نوربرت وینر این نام را گرفته. نام دیگر آن حرکت براونی است که بر اساس نام گیاه‌شناس معروف روبرت براون نام گذاری شده.

تعریف [ویرایش]

به صور ساده حرکت براونی، حرکت اتفاقی ذرات سوسپانسیون پخش شده در مایعات و گازهاست.

فرایند W_t فرایند وینر خوانده می‌شود در صورتی که سه خصوصیت زیر را داشته باشد:

۱. W₀=0

۲. W_t تماما پیوسته باشد.

۳. W_t فرایند با نمو مانا و مستقل باشد. و نمو آن از توزیع نرمال به صورت : $W_t-W_s\sim \mathcal{N}(0,t-s)$ ( برای $0 \le t < s$ )

تعریف ریاضی [ویرایش]

به فرایند شمارشگر $\{N(t);t \geqslant 0\}$ فرایند پواسون با نرخ $\lambda > 0$ , $\lambda$ , گفته می شود اگر که داشته باشیم:

$N(0)=0$
فرایند افزایشی مستقل باشد.
تعداد رویداد های اتفاق افتاده در بازه ی زمانی به طول $\tau$ به صورت پواسون توزیع شده است و میانگین $\lambda\tau$ دارد. در واقع برای تمام $t$ ها, $\tau \geqslant 0$



از مورد سوم داریم :

$\operatorname{E}[N(\tau)] = \lambda\tau$ که در واقع توضیح می دهد که چرا نرخ فرایند است.

انواع [ویرایش]

همگن [ویرایش]

فرآیند همگن پواسون با پارامتر λ مشخص می شود که به نوعی شدت را نشان می دهد. تعداد پیشامد ها در یک بازه زمانی (t, t + τ] از توزیع پواسون با پارامتر λτ پیروی می کند.

$P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,$

که N در این رابطه N(t + τ) - N(t) = k تعداد پیشامد ها را در بازه زمانی نشان می دهد(t, t + τ].

همان طور که یک متغیر تصادفی با توزیع پواسون را با پارامتر λ مشخص می شود، فرایند پواسون همگن نیز با پارامتر λ مشخص می شود که امید ریاضی تعداد پیشامدها را در واحد زمان نشان می دهد.

غیر همگن [ویرایش]

در حالت کلی پارامتر λ می تواند با زمان تغییر کند و با (λ(t نمایش داده می شود. در این صورت به این فرایند، فرایند غیر همگن پواسون می گویند.

امید vیاضی تعداد پیشامدها در بازه زمانی a تا b را با رابطه

$\lambda_{a,b} = \int_a^b \lambda(t)\,dt.$

محاسبه می کنند. در نتیجه تعداد پیشامدها در این بازه زمانی که برابر است با (N(b) − N(a از توزیع پواسون با پارامتر λ_a,b قابل محاسبه است.

$P [(N(b) - N(a)) = k] = \frac{e^{-\lambda_{a,b}} (\lambda_{a,b})^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots.$

در واقع فرایند همگن پواسون حالت خاصی از فرایند غیر همگن پواسون است.

موضوعات مرتبط: فرایند وینر

تاريخ : سیزدهم فروردین ۱۳۹۱ | 20:38 | نویسنده : علی شمس پور |

تعریف [ویرایش]

تعریف ریاضی [ویرایش]

انواع [ویرایش]

همگن [ویرایش]

غیر همگن [ویرایش]

آمارگیر وبلاگ